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Triangular Numbers (Part I)
Lecture Level: Easy
Lecture Length:5:52 minutes

 Lecture Index 0.25 Pythagoras 0.36 Triangular numbers 1.38 Guess the next triangular number 1.56 triangular number definition 2.49 Gauss story about the sum of first 100 natural numbers 4.15 problem 4.29 solution

Going back in history more than two thousand years Pythagoras and the Pythagoreans were interested in establishing relations between geometric figures and numbers.If you take one, one and two, one two and three stones and arrange them in a particular way. You may be able to produce triangular figures.

This is now believe to be the origin of the 'triangular numbers', 'the square numbers' and other figured numbers.Triangular numbers are obtained when we arrange a number of stones in an equilateral triangular shape.As we can see in the figure we have the first three triangular numbers. One, three and six.

The first triangular number is one. The second triangular number is three. To obtained three we need to add one and two. To get the third triangular number. We add one plus two plus three.

Can you guess now the next triangular number?
Yes, you guess right!The next triangular number is ten. Ten is the result of adding one plus two plus three plus four. So there is an intimated relationship between triangular numbers and the sum of consecutive natural numbers.If we call $T_n$ the $n$-th triangular number, then we can define the n-th triangular number to be the number obtained when we add the natural numbers $1+2+3+ \cdots +n$. From our definition of triangular numbers, we can see a direct link between triangular numbers and the sum of the first $n$ consecutive natural numbers.It will be nice to find a short-cut that will allow us to compute easily the sum of the natural numbers $1+2+3+ \cdots +n.$

A problem similar to this was solve a long time ago by a very young child. He became later in life one of the greatest mathematicians in history.His name was Carl Friedrich Gauss.

The story goes that his teacher J.G. Büttner, wanted the students busy working on additions for a while so he asked the students to compute a lengthy sum and for that he choose the numbers in a way that he could easily verify the answers himself, without having to do the full computation.To his astonishment one of the students finished the addition with the correct answer in a very short time. Obviously that student could not have possibly added the one hundred numbers in such a short time. That student had to have a very simple and brilliant idea that allowed him to easily solve the problem.The teacher immediately understood how bright this student was and from that moment forward pay special attention to develop that student's talent.

If you have not seen this problem before. Now you have the opportunity to solve the same problem that Gauss solved when he was young! Stop the lecture and try finding the sum of the first one hundred natural numbers. That is,

Find the sum

$1+2+3+ \cdots +100$

(This is a partial transcription of the Video Lecture Triangular Numbers (I) the video continues displaying Gauss's Solution)

Retrocediendo en la historia a más de dos mil años atras encontramos que Pitágoras y los Pitagóricos estaban interesados ​​en establecer relaciones entre figuras geométricas y números.

Si usted toma una , una y dos, una, dos y tres piedras y organizandolas de una manera particular . Usted puede ser capaz de producir figuras triangulares.Esto ahora se cree que es el origen de los 'números triangulares' , de los 'números cuadrados' y de otros números números figurados.Se llega a los números Triangulares cuando organizamos una serie de piedras en una forma triangular. Como podemos ver en la figura los tres primeros números triangulares. Uno, tres y seis.

El primer número triangular es uno . El segundo número triangular es tres. Para obtener tres tenemos que añadir uno y dos. Para obtener el tercer número triangular. Añadimos uno mas dos mas tres .

¿Puedes adivinar ahora el siguiente número triangular?Sí , aciertas ! El próximo número triangular es diez. Diez es el resultado de sumar uno mas dos mas tres mas cuatro . Así que hay una relación entre los números triangulares y la suma de números naturales consecutivos. Si llamamos $T_n$ a el número triangular de orden $n$ , entonces podemos definir el número triangular de orden $n$ que es el número que se obtiene cuando sumamos los números naturales $1+ 2 +3 + \cdots + n$ . Desde nuestra definición de los números triangulares , podemos ver una relación directa entre los números triangulares y la suma de los primeros $n$ números consecutivos.Seria bueno encontrar un atajo que nos permitirá calcular fácilmente la suma de los números naturales $1+ 2 +3 + \cdots + n$ .

Un problema similar a este fue resuelto hace mucho tiempo por un niño muy pequeño . Se convirtió más tarde en la vida en uno de los matemáticos más grandes de la historia. Su nombre es Carl Friedrich Gauss.La historia cuenta que su maestro J.G. Büttner , quería que los estudiantes se ocuparan trabajando en adiciones durante un tiempo por lo que pidió a los estudiantes calcular una larga suma y elijio los números de manera que él podría verificar fácilmente las respuestas, sin tener que hacer el calculo.Para su asombro uno de los estudiantes terminó la adición con la respuesta correcta en un tiempo muy corto. Obviamente que el alumno no pudo haber añadido los cien números en tan poco tiempo . Ese estudiante tenía que tener una idea muy sencilla y brillante que le permitió resolver fácilmente el problema del profesor.El profesor comprendió de inmediato qué tan brillante era este estudiante y a partir de ese momento en adelante le prestó atención especial para desarrollar el talento de ese estudiante.

Si usted no ha visto este problema antes . Ahora usted tiene la oportunidad de resolver el mismo problema que Gauss resolvió cuando él era joven ! Detenga la lectura y trate de encontrar la suma de los cien primeros números naturales. Es decir,

Encuentra la suma $1 +2 +3 + \cdots +100$

(Esta es una transcripción parcial de los números triangulares video conferencia (I ) el vídeo continúa mostrando Solución de Gauss )

En remontant dans l'histoire plus de deux mille ans Pythagore et les pythagoriciens étaient intéressés à établir des relations entre les figures géométriques et numbers.

If vous prenez un, un et deux, un deux et trois pierres et de les organiser d'une manière particulière . Vous pourriez être en mesure de produire des chiffres triangulaires .Ceci est maintenant croient être à l'origine des « nombres triangulaires » , on obtient « les nombres carrés » et d'autres numéros de numbers.Triangular figuré quand nous organisons un certain nombre de pierres dans un shape.As triangulaires équilatéraux nous pouvons voir dans la figure nous disposer les trois premiers nombres triangulaires . Un, trois et six .

Le premier nombre triangulaire est un . Le deuxième nombre triangulaire est de trois. Pour obtenu trois, nous devons ajouter un et deux. Pour obtenir le troisième nombre triangulaire . Nous ajoutons plus deux plus trois.

Pouvez-vous deviner maintenant le nombre triangulaire prochaine ?

Oui , vous devinez bien! Le nombre triangulaire prochaine est de dix. Dix est le résultat de l'addition plus deux plus trois plus quatre . Donc, il ya une relation entre les nombres triangulaires laissé entendre et la somme de numbers.If naturelle consécutive que nous appelons n le nombre triangulaire n-ième ,nous pouvons définir le nombre triangulaire n-ième soit le nombre obtenu lorsque l'on additionne les nombres naturels $1 +2 +3 + \cdots + n$ . De notre définition des nombres triangulaires , nous pouvons voir un lien direct entre les nombres triangulaires et la somme des n premiers consécutive numbers.It naturel sera agréable de trouver un raccourci qui nous permettra de calculer facilement la somme des nombres naturels $1 +2 +3 + \cdots + n$ .

Un problème similaire à ce n'était résoudre il ya longtemps par un très jeune enfant . Il est devenu plus tard dans la vie d'un des plus grands mathématiciens de history.His nom était Carl Friedrich Gauss .L'histoire raconte que son des enseignants J.G. Büttner , voulait que les élèves occupés à travailler sur les ajouts pendant un certain temps il a donc demandé aux élèves de calculer une longue somme et pour cela il choisir les numéros d'une manière qu'il pourrait facilement vérifier les réponses lui-même, sans avoir à faire le plein computation.To son étonnement l'un des étudiants a terminé l'addition avec la bonne réponse dans un temps très court . De toute évidence, l'étudiant ne pouvait pas avoir ajouté les cent numéros dans un temps si court . Cet étudiant a dû avoir une idée très simple et brillante qui lui a permis de résoudre facilement le professeur problème.La immédiatement compris comment lumineux cet étudiant était et de ce moment avant une attention particulière à développer le talent de cet élève.

Si vous n'avez pas vu ce problème avant . Maintenant, vous avez la possibilité de résoudre le même problème que Gauss résolu quand il était jeune ! Arrêtez la lecture et essayer de trouver la somme des cent premiers nombres naturels . Autrement dit,

Trouver la somme $1 +2 +3 + \cdots +100$

( Il s'agit d'une transcription partielle des numéros de triangulaires Lecture de vidéo (I ) la vidéo continue d'afficher Solution de Gauss )

Voltando na história de mais de dois mil anos. Pitágoras e os pitagóricos estavam interessados ​​em estabelecer relações entre figuras geométricas e numbers.If você toma um, um e dois, um, dois e três pedras e organizá-los de uma forma particular. Você pode ser capaz de produzir figuras triangulares.Isto é agora acreditamos ser a origem dos 'números triangulares' , são obtidos os números de 'quadrados' e outros números numbers.Triangular figurado quando organizar uma série de pedras em um triângulo shape.As triangulares podemos ver na figura que tem os primeiros três números triangulares . Um, três e seis.O primeiro número triangular é um deles. O segundo número triangular é três. Para obter três precisamos adicionar um e dois. Para obter o terceiro número triangular. Nós adicionamos um mais dois mais três.Você consegue adivinhar agora o próximo número triangular ?Sim, você adivinhou certo! O próximo número triangular é dez. Dez é o resultado da adição de um mais dois mais três, mais quatro. Portanto, há uma relação entre a entender números triangulares ea soma dos consecutivo numbers.If naturais que chamamos de $T_n$ o número triangular $n$ -th , então podemos definir o número triangular $n$ -th a ser o número obtido quando somamos os números naturais $1 +2 +3 + ⋯ + n$ . A partir da nossa definição de números triangulares , podemos ver uma ligação direta entre os números triangulares ea soma dos primeiros n consecutivo numbers.It natural vai ser bom para encontrar um atalho que nos permitirá calcular facilmente a soma dos números naturais $1 +2 +3 + ⋯ + n$.Um problema semelhante a este foi resolver há muito tempo por uma criança muito jovem. Tornou-se mais tarde na vida de um dos maiores matemáticos em history.His nome era Carl Friedrich Gauss .A história diz que o seu professor J.G. Büttner , queria que os alunos ocupados trabalhando em adições por um tempo para que ele pediu aos alunos para calcular uma soma longa e para que ele escolha os números de uma forma que ele poderia facilmente verificar as respostas a si mesmo, sem ter que fazer o computation.To completo sua surpresa um dos estudantes terminou a adição com a resposta correta em um tempo muito curto. Obviamente que o aluno não poderia ter acrescentado os cem números em tão pouco tempo . Esse aluno tinha que ter uma idéia muito simples e brilhante que lhe permitiu resolver facilmente o professor problem.The imediatamente entendida como brilhante este estudante era e daquele momento em diante uma atenção especial para desenvolver o talento do aluno .Se você ainda não viu esse problema antes . Agora você tem a oportunidade de resolver o mesmo problema que Gauss resolvido quando era jovem !Pare a palestra e tentar encontrar a soma dos primeiros cem números naturais. Isto é,Encontre a soma 1 +2 +3 + ⋯ 100(Esta é uma transcrição parcial dos números triangulares Palestra Vídeo (I ), o vídeo continua exibindo Solução de Gauss )

Возвращаясь в истории более двух тысяч лет Пифагор и пифагорейцы были заинтересованы в установлении отношений между геометрическими фигурами и numbers.

If вы берете один , один и два , раз-два и три камня и расположить их в определенном направлении. Вы можете быть в состоянии произвести треугольные фигуры .

Это в настоящее время считают , что происхождение 'треугольных чисел' , получаются 'квадратные номера' и другие фигурные числа numbers.Triangular когда мы организуем ряд камней в виде равностороннего треугольника shape.As мы можем видеть на рисунке мы есть первые три треугольных чисел. Один, три и шесть.Первый треугольное число является одним . Второй треугольное число равно трем. Для полученной трех нам необходимо добавить один и два . Чтобы получить третий треугольную номер. Мы добавляем один плюс два плюс три.

Можете ли вы угадать Теперь следующий треугольную номер?

Да, вы угадали ! Следующий треугольное число десять .Десять является результатом добавления Один плюс два плюс три плюс четыре. Так что естьдал понять отношения между треугольных чисел и суммы подряд природного numbers.If мы называем нтреугольное число п-е , то можно определитьтреугольное число п-го , чтобы быть число, полученное при добавлении натуральные числа $1 +2 +3 + \cdots + п$ . Из нашего определения треугольных чисел , мы можем видеть, прямая связь между треугольных чисел и суммы первого н подряд природного numbers.It будет приятно найти короткий путь , который позволит нам легко вычислить сумму натуральных чисел $1 +2 +3 + \cdots + п$.Проблема похожа на это было решить давным-давно на очень маленького ребенка . Он стал позже в жизни один из величайших математиков в history.His имени Карл Фридрих Гаусс . Рассказывают, что его учитель J.G. Бюттнер , хотел студенты заняты работой над дополнениями на некоторое время , чтобы он спросил студентов , чтобы вычислить длительный сумму и для этого он выбрал номера таким образом, чтобы он мог легко проверить сам же отвечает , без необходимости делать полный computation.To его удивление один из студентов закончили добавление с правильным ответом в течение очень короткого времени . Очевидно , что студент не могли, возможно, добавили сто номеров в такой короткий промежуток времени . Это студент должен был иметь очень простой и блестящая идея , которая позволила ему с легкостью решать учитель problem.The сразу понял , насколько ярко этот студент был и с этого момента вперед обратить особое внимание на развитие таланта, который студента.

Если вы еще не до видел эту проблему . Теперь у вас есть возможность разрешить ту же самую проблему , что Гаусс решена , когда он был молод ! Остановите лекцию и попытаться найти сумму первых ста натуральных чисел. То есть,

Найдите сумму $1 +2 +3 + \cdots +100$

( Это неполный транскрипции из видео лекций треугольных чисел (I ) видео продолжает отображения решение Гаусса )

Gehen wir zurück in der Geschichte mehr als zweitausend Jahren. Pythagoras und die Pythagoräer waren daran interessiert, die Herstellung von Beziehungen zwischen geometrischen Figuren und Zahlen zur Sie eins, eins und zwei , eins zwei und drei Steine ​​nehmen und ordnen sie in einer bestimmten Weise . Sie können auf dreieckigen Figuren zu produzieren.Dies wird nun glauben, um die Herkunft der 'Dreieckszahlen' zu können, sind 'die Quadratzahlen' und andere figürliche numbers.Triangular Zahlen erhalten, wenn wir organisieren eine Reihe von Steinen in einem gleichseitigen Dreiecks shape.As können wir in der Abbildung sehen wir haben die ersten drei Dreieckszahlen . Einem, drei und sechs .Das erste dreieckige Zahl eins ist. Das zweite Dreieckszahl ist drei. Um drei erhalten , müssen wir eins und zwei hinzufügen. Um die dritte Dreieckszahl zu bekommen. Wir fügen eins plus zwei plus drei .Können Sie nun den nächsten Dreieckszahl erraten?Ja , ich denke, Sie richtig! Der nächste Dreieckszahl ist zehn. Zehn ist das Ergebnis der Addition eins plus zwei und drei und vier . So gibt es eine angedeutete Beziehung zwischen Dreieckszahlen und der Summe der aufeinander folgenden natürlichen Zahlen zur Tn nennen wir die n-te Dreieckszahl , dann können wir definieren die n-te Dreieckszahl , die Nummer erhalten , wenn wir die natürlichen Zahlen 1 hinzufügen +2 +3 + ⋯ + n . Aus unserer Definition von Dreieckszahlen , können wir sehen einen direkten Zusammenhang zwischen Dreieckszahlen und der Summe der ersten n aufeinander folgenden natürlichen numbers.It wird nett sein, eine Abkürzung , die es uns ermöglichen, auf einfache Weise berechnen die Summe der natürlichen Zahlen finden 1 +2 +3 + ⋯ + n .Ein ähnliches Problem wie das war vor langer Zeit lösen, indem ein sehr junges Kind. Er wurde später im Leben einer der größten Mathematiker in history.His Name war Carl Friedrich Gauß.Die Geschichte geht, dass sein Lehrer J. G. Büttner , wollten die Schüler fleißig an Ergänzungen für eine Weile so fragte er die Studenten auf eine lange Summe zu berechnen und für die er die Zahlen in einer Weise , dass er sich leicht überprüfen, die Antworten selbst, ohne den vollen computation.To tun wählen seinem Erstaunen einer der Schüler beendete die zusätzlich mit der richtigen Antwort in einer sehr kurzen Zeit. Offensichtlich , dass Schüler unmöglich hinzugefügt haben, die hundert Zahlen in so kurzer Zeit . Das Student hatte eine sehr einfache und geniale Idee , die ihn zu leicht lösen ließ die Problem.Die Lehrer sofort verstanden , wie hell diese Schüler war und von diesem Moment an ein besonderes Augenmerk auf dieses Schülers Talent zu entwickeln.Wenn Sie dieses Problem nicht gesehen haben. Jetzt haben Sie die Gelegenheit, um das gleiche Problem , die Gauss gelöst, als er jung war zu lösen! Stoppen Sie den Vortrag und versuchen Sie finden die Summe der ersten hundert natürlichen Zahlen . Das heißt,Finden Sie die Summe 1 +2 +3 + ⋯ 100( Dies ist eine unvollständige Transkription der Video -Vortrag Dreieckszahlen (I) die Video- Anzeige weiterhin Gauß Solution)